De la tradición a la innovación docente en matemáticas
Una experiencia innovadora de cinco años en la docencia de matemáticas permite concluir que la modelización matemática es una buena herramienta para la enseñanza y aprendizaje de esta disciplina
Metodología docente
La propuesta metodológica de presentación de los contenidos matemáticos está basada en el que se denomina “modelización matemática como herramienta de enseñanza-aprendizaje”. La modelización matemática consiste –brevemente– en formular un problema de la vida cotidiana o situación técnica en términos matemáticos –lo que denomino modelo–, resolverlo si es posible e interpretar los resultados en términos del problema y de la situación planteada.
Para ilustrar lo que es el proceso de modelización como propuesta metodológica, adjunto la figura 1 con un organigrama.
La propuesta metodológica está centrada en los siguientes puntos:
– Presentación de una situación simplificada del mundo real.
– Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.
– Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.
– Presentación de la solución en términos no matemáticos.
De hecho, el modelaje matemático es cada vez más útil. La importancia de las matemáticas radica en su aplicación a problemas específicos o particulares. Mogen Niss (1991) define el modelaje como “el arte de aplicar las matemáticas a la vida real”. Podría definirse el modelaje matemático como “una herramienta innovadora de enseñanza eficiente y una correa de transmisión que proporciona la adquisición de conocimientos y hermana matemática y realidad”. Albert Einstein (1938) apuntaba: “¿Cómo podemos explicar que las matemáticas, un producto de la mente humana independiente de la experiencia, encajen tan bien en los objetos y elementos de la realidad?”.
La aproximación del ingeniero a las matemáticas es de una naturaleza eminentemente práctica, y está orientada a la resolución de problemas concretos. Destaco algunos argumentos a favor de la implantación de las técnicas de modelización en los currículums académicos, en particular en las escuelas universitarias:
1. El formativo. Las técnicas de modelaje permiten estimular el interés por el descubrimiento y la creatividad, y adquirir confianza en las capacidades y recursos propios, destacando de esta forma el aspecto formativo de las matemáticas.
2. Competencia crítica. En una sociedad cada vez más influenciada por las matemáticas, mediante sus aplicaciones y sus modelos, es oportuno desarrollar entre los alumnos una competencia crítica que les permita una integración en el mundo laboral y social más activa y participativa. La competencia crítica debe entenderse como una capacidad de reconocer, comprender, analizar y validar el uso de las matemáticas en el contexto real.
3. Utilitarista. La capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos que se han adquirido en las situaciones del mundo social no proviene del hecho de haber adquirido una formación abstracta.
4. Visión de las matemáticas. Presentar las matemáticas relacionadas con otras áreas del conocimiento, como una actividad cultural y social (interdisciplinariedad).
5. Argumento psicológico. La incorporación de aplicaciones matemáticas en el currículum, pueden conseguir que los conceptos matemáticos tengan para el estudiante un protagonismo mental. De esta manera, la capacidad de usar un concepto matemático incluye alguna cosa más que simples conocimientos de este concepto.
Estos aspectos metodológicos los estructuro en las denominadas “unidades didácticas”, y trabajo en “proyectos” en los cuales el estudiante aprende los conceptos y no es un mero espectador en la adquisición de conocimientos. De una manera dirigida, a partir de situaciones reales, va asumiendo protagonismo en el proceso de aprendizaje. Lo podríamos definir como una manera heurística de adquirir conocimientos.
Unidades didácticas
El objetivo es que los alumnos construyan modelos matemáticos de manera dirigida. Inicialmente se realiza un guión previo con la temporalización de la unidad, y posteriormente se desarrollan individualmente en las aulas. Los objetivos pedagógicos quedan plasmados en los siguientes puntos:
– Presentar una situación física sencilla. A partir de diversas actividades sugeridas al alumno, se pretende que con un mínimo de conocimientos consigan construir el modelo matemático de la situación planteada, y que a su vez aprendan conceptos matemáticos que les sean útiles.
– En una segunda fase, el objetivo es que resuelvan el problema en términos matemáticos, y que a continuación interpreten los resultados en términos técnicos.
Las unidades didácticas se presentan de forma que traten temas de actualidad, que sean atractivas y sugeridoras para el alumno, con el fin de que las cumplimenten de forma amena. A su vez, el estudiante se motiva por el aprendizaje de nuevos conceptos matemáticos que él mismo irá construyendo.
La enseñanza a través de las unidades didácticas es un ejemplo de la modelización matemática como herramienta de enseñanza/aprendizaje. Inicialmente se proponen como una actividad que complementa las “clases de pizarra”. Destaca el hecho de que en las unidades se incluyen ítems que preguntan al alumno “¿Qué has aprendido y qué dificultades has encontrado?”. De esta manera podemos localizar más fácilmente las deficiencias en el proceso de aprendizaje y corregir y mejorar las unidades para posteriores ediciones. Las unidades se realizan en horas de clase y dentro de las aulas, las explicaciones del profesor son complementarias y van referenciadas a los temas tratados en la unidad. Una forma de evaluar los conocimientos que ha adquirido el alumno es sugerir una situación análoga a la estudiada (que puede estar incluida en la unidad como complemento o bien presentarse en forma de examen tradicional), y de esta manera valorar si han entendido la utilidad de los conceptos matemáticos que les hemos enseñado de manera que puedan interpretar situaciones diferentes que tengan el mismo modelo. Por ejemplo: si en la unidad trabajan en el estudio de un sistema de masas ligado por resortes, el modelo es un sistema de ecuaciones lineales, podemos valorar diversos aspectos:
– Si cambiamos la estructura de muelles, ¿saben observar si el modelo es el mismo?
– Comprobar si saben resolver un sistema de ecuaciones.
– Proponer un sistema eléctrico, y estimar si se dan cuenta de que el modelo también es un sistema de ecuaciones lineales.
– Valorar si a partir de un sistema de ecuaciones lineales pueden interpretar su correspondencia con una situación técnica.
La información extraída de las respuestas nos permite juzgar aspectos epistemológicos, heurísticos y cognitivos de nuestros estudiantes.
El sentido y el espíritu utilitarista de los problemas propuestos en las unidades didácticas, pueden sugerir en algunos casos comentarios de los estudiantes referidos a aspectos epistemológicos, y también sugerir en el ámbito de estructura mental el concepto de qué son las matemáticas en un contexto técnico.
Proyectos
El objetivo es averiguar si los alumnos son capaces de desarrollar un problema real a partir de la información facilitada por el profesor y construir una teoría que explique el fenómeno estudiado. A diferencia de las unidades didácticas –que son secuenciales–, el proyecto se fundamenta en una idea global con un fuerte componente de investigación en el que los estudiantes han de desarrollar actividades globales: buscar ellos la información, desarrollar y analizar modelos para resolver el problema planteado en la situación real. El proyecto es defendido públicamente en la última semana lectiva del curso y contempla las actuaciones de los demás alumnos; en la exposición el profesor interpela a los alumnos y las intervenciones se graban en vídeo. Están concertados (a grupos de entre tres y cuatro personas) en una entrevista previa con el profesor. A diferencia de las unidades didácticas, los proyectos no son elaborados en clase. Además, hay un componente pedagógico distinto al anterior, un componente de investigación: el estudiante ha de recoger información con el fin de desarrollar las actividades propuestas, de esta forma se pretende que el alumno tome contacto con el mundo extraacadémico y se preocupe de recoger información en el contexto real –hecho usual de todo profesional que termina ingeniería–. Es de destacar que en la elaboración de los proyectos hay involucradas otras áreas de conocimiento, lo cual proporciona una mayor conexión entre el binomio matemática-realidad. La idea de proyecto va estrechamente ligada a la idea del proceso de modelización. El punto de partida es la presentación de una situación no matemática, extraída del mundo de la ciencia o de la técnica, susceptible de ser formulada en términos matemáticos. Los estudiantes tienen un problema en las manos que han de modelar y resolver. La única información de que disponen es una bibliografía y el contexto donde se desarrolla la situación presentada. Seguidamente se inicia un proceso de investigación por parte de los alumnos, que a menudo necesitarán la ayuda del profesor. Los proyectos son un claro exponente del trabajo en grupo.
Los objetivos principales de la realización de un proyecto los podemos resumir en los siguientes puntos:
– Los alumnos han de ser capaces de relacionar los conocimientos matemáticos y las habilidades adquiridas con las situaciones presentadas, y de esta manera saber usar la matemática para fines prácticos. Es decir, han de apreciar el papel de la matemática en situaciones complicadas, como un medio para resolver los problemas que se le planteen.
– Los alumnos han de estar preparados para manejar más adelante, en la vida diaria, elementos matemáticos como son tablas, manuales, gráficos, revistas técnicas, software, etc. En este sentido el trabajo en proyectos juega un papel muy importante.
– Los alumnos han de tener el conocimiento necesario para utilizar como herramientas temas e ideas matemáticas nuevas, en el sentido de que la escuela no les enseñó de manera explícita y sistemática.
Ratifico que la metodología adecuada y estructura del trabajo en proyectos, parte de la filosofía que sintetizo en las siguientes fases:
– Presentación a los alumnos de situaciones técnicas próximas a la vida profesional.
– Análisis en grupo de la situación por parte de los alumnos.
– Decisión de la información a recopilar con el fin de modelar el problema.
– Recopilación y análisis de la información.
– Desarrollo del proceso teórico de la modelización del problema.
– Resolución del modelo encontrado e interpretación de resultados.
Entenderemos la realización de un proyecto como una forma de aprendizaje interdisciplinario, basado en la experiencia y capaz de convivir con otras for-mas tradicionales de aprendizaje.
La inclusión de proyectos en la metodología docente, para la enseñanza/ aprendizaje de las matemáticas a nivel universitario, queda justificada por los siguientes aspectos:
La adquisición de conceptos. En los proyectos hay gran cantidad de conceptos matemáticos y extramatemáticos involucrados, de esta forma descubren nuevos conceptos.
Un aprendizaje activo. Es una tipología de aprendizaje que representa una mezcla de pensamiento y acción.
Desarrollo de habilidades. En muchas áreas, el proceso es más importante que los contenidos. En diversas situaciones laborales, el hecho de que se contrate a un técnico, a menudo tiene más relación con sus habilidades que con el propio conocimiento de la materia.
Trabajo en grupo. Gran parte de la enseñanza tradicional es individualista y competitiva. La mayor parte de la sociedad y el comercio confía en la cooperación. El aprendizaje en grupo también es eficaz.
Asumir responsabilidades. La realización de un proyecto permite negociar las metas y aumenta el compromiso personal.
El formato de presentación debe seguir unas pautas:
– Portada: título y nombre de los estudiantes
– Índice
– Explicación detallada de la situación y de los modelos
– Resolución del problema
– Métodos matemáticos: listado de conceptos usados
– Conclusiones: ha de incluir el resumen de los descubrimientos realizados y los comentarios sobre las limitaciones
– Referencias bibliográficas.
En cada proyecto se incluye una plantilla de evaluación, que cumplimenta el profesor y que sirve para obtener información del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Esta plantilla contempla y valora los siguientes aspectos: diseño global (búsqueda de información, extensión), contenido matemático (formulación, rigor del lenguaje, habilidad), claridad (explicaciones precisas, organización y presentación), actitud matemática (espíritu de investigación, matematización de situaciones), otros aspectos (conclusiones y comentarios), puntuación final.
Algunas prácticas realizadas
Los proyectos que se describen a continuación se empezaron a experimentar a inicios del curso 1996-97, en la Escuela Universitaria Politécnica de Vilanova i la Geltrú, realizando sucesivas versiones mejoradas hasta la actualidad. A lo largo de estos últimos cinco años se han producido proyectos nuevos que se están experimentando actualmente como elementos de trabajo en grupo. Esta topología de prácticas se desarrolla actualmente en la Universidad Politécnica de Valencia, por el Dr. Lluís Miquel Garcia Rafi y, en la Universidad Católica de Maule (Chile), por los doctores Carlos Caamaño y M.ª Mercedes Aravena.
Modelaje de un sistema de resortes
Se intenta modelizar la ley de Hooke como un sistema lineal, partiendo inicialmente de una masa y un resorte. El objetivo final consiste en encontrar un modelo que relacione la fuerza y el desplazamiento con diversos resortes y masas. De esta forma se consigue establecer modelos de álgebra matricial (figura 2).
La finalidad es que los estudiantes reconozcan e interpreten situaciones distintas que comparten el mismo modelo. Destaco las relativas a circuitos eléctricos.
Existe un paralelismo entre la ley de Hooke y la ley de Ohmm. Ambas son expresiones del tipo: A = B · C en el caso que:
La práctica finaliza sugiriendo situaciones de economía, redes de circulación vial y problemas geométricos. Actual-mente se está implementando en soporte multimedia.
Los astronautas y las ecuaciones diferenciales
Se pretende que de una forma amena, dirigida y atractiva, los estudiantes se introduzcan en el mundo de las ecuaciones diferenciales a partir de situaciones reales. Se presenta la actividad a partir de un artículo aparecido en la prensa que hace referencia al proyecto “Columbia”. En el mismo se comenta la experiencia del astronauta Miguel López Alegría en su estancia de 16 días en el espacio. El siguiente artículo muestra la situación (figura 3).
A partir del artículo, los alumnos notan que las condiciones de gravedad son distintas en la tierra y en el espacio, y a partir de las leyes físicas involucradas construyen la ecuación diferencial asociada al movimiento. La práctica termina introduciendo la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Cuando conectamos en serie con una resistencia R y una bobina de coeficiente de autoinducción L, la ecuación que describe la carga que es almacenada en las placas de un condensador de capacidad C, es la que muestra la figura 4.
Los alumnos descubren la equivalencia con el sistema mecánico y el circuito LRC (tabla 1):
En general, resuelven una ecuación diferencial del tipo:
como modelo compartido de las oscilaciones mecánicas y eléctricas.
Fourier y el sonido
En el presente proyecto se analiza el porqué una misma palabra pronunciada por dos alumnos tiene tonalidades distintas. En este proyecto los alumnos descubren el papel de los armónicos de Fourier. Los alumnos asistieron a las aulas con micrófonos, cintas de cassette e incluso con un ordenador.
Fourier y los electrocardiogramas
Este proyecto muestra como, a partir del desarrollo de Fourier, los armónicos correspondientes a un electrocardiograma de un corazón sano (figura 5) y de un corazón enfermo son distintos. En la exposición realizada por los alumnos se mostraron electrocardiogramas reales de diversos pacientes, comparando las gráficas de personas de diversas edades y de varias patologías. Para ello los estudiantes utilizaron simulaciones de las gráficas realizadas con MAPLE VII (figura 6).
Modelización de una intersección regulada por semáforos (figura 7)
El trabajo consiste en estudiar el flujo de circulación de vehículos en una intersección regulada por semáforos. A partir de diversas mediciones, los estudiantes establecieron la duración óptima de cada color del semáforo en función de la densidad de vehículos. Se estudió un caso real ubicado en la ciudad de Mollerussa (provincia de Lleida). Se establecieron analogías entre los elementos clásicos de la teoría de circuitos y las características del tráfico rodado. En el proyecto estaban involucrados elementos de teoría de grafos, leyes de Kirchoff, etc. En el mismo se confeccionó una presentación en flash.
Conclusiones
A nivel epistemológico se consigue una mayor conexión con el currículum de ingeniería y se destaca la interdisciplinariedad, mostrando las matemáticas no desvinculadas de la realidad y del entorno profesional.
Destaca el aspecto formativo de las matemáticas, en el sentido de que las técnicas de modelización permiten estimular el interés por el descubrimiento y la creatividad.
A nivel heurístico se favorece el trabajo en grupo, como característica presente en una sociedad avanzada del siglo XXI, fomentando el debate y a la vez potenciando el sentido crítico.
La enseñanza tradicional mantiene excesivos formalismos que a menudo se alejan de la realidad del futuro ingeniero. En la modelización se evita la carga de formalismos, apostando por un aprendizaje más intuitivo y próximo a las situaciones técnicas.
A nivel cognitivo podemos establecer que la modelización matemática es una buena herramienta para la enseñanza/ aprendizaje de las matemáticas. En este tipo de experiencias se plasma el papel relevante de la modelización matemática en la escena curricular de ingeniería, adquiriendo un protagonismo el aprendizaje producido por los propios alumnos, que a su vez asumen el papel de actores en su propio aprendizaje.
Podemos ratificar y establecer la validez de que la modelización matemática sea incluida en los planes de estudio, y la presencia de modelos matemáticos sean realmente protagonistas en la formación de ingenieros.
Nota
El trabajo que se ha descrito y las técnicas de modelización como enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, forma parte de un proyecto de innovación educativa, financiado durante el año 2003 por el Departament d’Universitats, Recerca i Societat de la Informació de la Generalitat de Catalunya.
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RESUMEN
Se presentan experiencias desarrolladas durante cinco cursos académicos en la Escuela Universitaria Politécnica Superior de Vilanova i la Geltrú. El área de conocimiento es de Matemática Aplicada. La base del trabajo es la modelización matemática como herramienta de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, potenciando el trabajo en grupo y la realización de proyectos. Destaca la componente epistemológica y la heurística. La metodología usada durante estos últimos cinco años también nos proporciona una herramienta de evaluación cognitiva. Actualmente esta metodología se realiza también en la Universidad Politécnica de Valencia y en la Universidad Católica de Maule (Chile).
